In queste circostanze, si riducono subito a: !!!! B. ˆ z (1) (2)

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1 Onde elettromagntihe Le soluzioni alle equazioni di Mawell sono molte: ne abbiamo viste diverse, es.: il ampo elettrostatio, i ampi (elettrii e magnetii) stazionari nei pressi di un filo on orrente ostante, i ampi orrispondenti a orrenti alternate, et. Tutti questi esempi sono soluzioni delle eq. di Mawell, orrispondenti a situazioni (dette ondizioni di ontorno ) partiolari, es., la presenza di una determinata distiribuzione di aria o di orrente e le aratteristihe di un mezzo. Le soluzioni piu semplii e generali, non fanno presupposti riguardo distribuzioni di aria o di orrente, e si verifiano nel vuoto. Inoltre, e possibile somporre un soluzione qualsiasi in base ad una somma pesata di queste soluzioni. Queste sono le onde elettromagnetihe. La piu fondamentale di queste soluzioni orrisponde alla irostanza in ui il ampo elettrio e unidirezionale. Si hiami questa direzione, e si supponga inoltre he il ampo em vari solamente in funzione di e di t. Le quazioni di Farada e di Ampere, espresse in forma differenziale sono, B D ( Farada) e H ( Ampe`re Mawell) ( J nel vuoto) dove iˆ ˆ + j + kˆ z, D ε e B H µ In queste irostanze, si riduono subito a: e Bz B µ ε z () ()

2 Prendendo la derivata di () rispetto a, e quella di () rispetto a t, si ottiene: Bz Bz µ ε (3) (4) e da (3) (4): µ ε (5) q. 5 e un equazione differenziale di seondo grado di un unia funzione, he si rionose quale equazione d onda on soluzione una funzione qualsiasi on µ ε ( ) f ( t ) (oppure f t + ) dove e la veloita della lue nel vuoto Una soluzione fondamentale e ( t ) senω / dove ω e una ostante arbitrarea. (6) definendo il numero d onda kω/, possiamo srivere : (, t) sen( ωt k) o

3 In un qualsiasi istante ( t ostante), il ampo elettrio e una funzione sinusoidale di k, ioe : e (, t) sen( k + ostante) e' o l'ampiezza. senφ, dove la ostante e' ωt φ φ ( π ) π φ ( π ) + 4π π + φ La differenza di fase (φ -φ ) tra due massimi suessivi e π, e lo sarto in orrispondente ( - ) e detto la lunghezza d onda λ. ( φ φ ) k( ) dove k (il ω k π λ numero π kλ d' onda) e' dato da : 3

4 Ammettiamo, ora, he vari anhe t e troviamo le ondizioni he mantengono la fase ostante ad un valore (diiamo quella orrispondente a φ π/+π (una resta dell onda ). Chiaramente, affinhe la fase φ rimanga ostante a (π/ + π), deve variare anhe il valore di. Vale dire; ( t + Δt) ω( t + Δt) k( + Δ ) φ ( t) ωt k π π φ + da ui, Δφ φ ( t + Δt) φ ωδt kδ da ui, ( t) (t) (t+δt) Δ Δt ω k ω ( ω ) Si vede osi he l onda viaggia on la veloita della lue: Con: µ ε µ 4 7 ε 8.85 Si ottiene: N. s C / m m / s (si noti, inoltre, he / Nm La veloita delle onde elettromagnetihe nel vuoto 4

5 Per trovare B si onsideri eq. () Bz () Sostituendo la soluzione di si ottiene B ( ) z ω osω t e integrando rispetto a t si ottiene B z ( ) ( ) sen t ω ( ) sen( ωt k) o Si noti he: ) ) B La fase ( ωt k) e' uguale per e per B. 3) Promemoria: L ampiezza del ampo magnetio e molto piu piola di quella del ampo elettrio: ( ) B k ω π ν ν λ k π λ numero d onda frequenza 5

6 Le assi artesiane si possono definire arbitrareamente. Segue he altre soluzoni delle equazioni di Mawell sono: z z sen sen ( ωt kz) e B B sen( ωt kz) ( ωt k) e B B sen( ωt k) e qualsiasi ombinazione di tali. A tutte queste soluzioni si possono aggiungere fasi ostanti: ( ω t kz + δ ) e B B sen( ωt + δ ) kz Questo tipo di onda viene hiamata onda piana ( polarizzata in direzione. Una somma pesata di onde piane e anhe una soluzione ed e importante notare he, segliendo i pesi e le fasi opportunemente, si possono formare tipi di onda molto diversi l uno dall altro, on la aratteristia ommune he dipendono da (t-/) ) (oppure da (t+/)). Un altra soluzione importante e quella orrispondente ad onde sferihe. Fronti d onda λ λ Onde piane Onde sferihe 6

7 Lo spettro eletromagnetio Mentre la veloita di propagazione dipende dal mezzo, ω e una ostante arbitrarea e, siome ω π ω π k oppure, λ λ ω anhe la lunghezza d onda λ puo avere un valore arbitrareo. In fatti, sono state osservate onde elettromagnetihe on lunghezze 5 d onda λ. Diverse gamme portano diversi nomi per ragioni storihe. υ( Hz ) λ(m) λ raggi γ -4-3 ( fm) - Sensibilita dell ohio 555 Å 5, m raggi X unltravioletti - -9 (Å) 4 visibile --6 (µm) λ(å) infrarossi -3 (mm) 8 Radio onde orte -- (m) Radio onde normali [ 3 km 7

8 Antenne e rievitori Onda piana v Antenna per rilevare osillazioni del ampo elettrio Onda piana B v Antenna per rilevare osillazioni del ampo magnetio 8

9 Trasporto di nergia Siome la densita di energia nel ampo elettrio e : du ε dv Segue he l energia elettria trasportata da un onda piana attraverso un elemento di area ΔA, perpendiolare alla direzione di propagazione dell onda, nell intervallo di tempo Δt orrisponde al volume di ampo he passa per ΔA in Δt du dv Δ V ε ( Δ t Δ A) e l energia S he passa per area unitaria in tempo unitario e : du V dv Δ S ε ΔtΔA e siome B segue he si puo srivere S ε B B µ ε ε Analogamente, partendo da S B B S µ B µ du B / dv B µ Δt ΔA. ΔV. si dimostra he Segue he la potenza totale trasmessa attraverso area unitara : S B µ siome B S B µ si puo srivere Il vettore di Ponting (N.B.: benhe si sia dimostrato per il aso speifio, e sempre valido). 9

10 L intensita I e definita: I S µ B µ I sen ( ωt k) µ µ I qm µ Pressione di radiazione µ qm B qm µ qm B qm Si onsideri un onda piana he inide normalmete su una superfiie orizzontale. osservato he l inidenza dell onda genera una pressione P sulla superfiie. Per quantifiarla, serve riordare he: P F A e he F dp dt dove F e la forza orrispondente su area A e dp e la quantita di moto trasferita dall onda alla superfiie he avviene in dt quando l onda inide sulla superfiie. Per alolare dp serve la teoria dei quanti dalla quale si ottiene he, per onde e.m.; Δp ΔU (prendere per dato) (dove ΔU e l energia e.m. he inide su A) quando la radiazione viene ompletamente assorbita.

11 Quando viene ompletamente riflessa, invee, ΔU Δp Risulta allora he ( quando la radiazione e totalmente assorbita), la forza media su ΔA e data da: F dp dt du dt ma du dt SA IA da ui segue he: P r F A I (radiazione totalmente assorbita) Mentre, per riflessione totale, P r I (radiazione totalmente riflessa)

12 Polarizzazione Si onsideri un onda piana he viaggia in direzione. B z z La lue trasmessa in una qualsiasi direzione (diiamo ) e spesso una sovrapposizione di tali onde, ognuna on orientamenti dei ampi distribuita asualmente nel piano alla direzione di moto. Se, invee, tutte le onde he viaggiano in direzione hanno lo stesso orientamento (es. ) del ampo elettrio, ome in in in figura, si die he la radiazione e totalmente polarizzata in direzione. z lue non polarizzata B z lue polarizzata La lue (o qualsia radiazione) puo anhe essere parzialmente polarizzata nel senso he solo una frazione delle onde hanno ampi allineati on la direzione di polarizzazione.

13 Si definise la polarizzazione della radiazione on riferimento ad un polarizzatore o lamina polarizzante, he e una lamina parzialmente tasparente nel senso he tasmette solo la omponente del ampo elettrio // alla propria direzione di polarizzazione. Si onsideri, ad esempio, una tale lamina, polarizzata in direzione. Per un onda piana he inide normalmente sulla lamina, on orientato ad angolo θ rispetto la direzione di polarizzazione () della lamina, ome in figura, viene trasmessa un onda on ampiezza tr θ z tr osθ orientata in direzione, e, siome l intensita di energia trasmessa e proporzionale all ampiezza quadrata, I I os θ quando la lue inidente non e polarizzata, l intensita trasmessa e : ( os θ ) π I I tr d θ π 3